Композитор Энрико Иосиф родился 1 мая 1924 года в Белграде, в еврейской сефардской семье. Его отец, Моша Иосиф, купец по профессии, при рождении назвал его Хаим, а затем это имя изменили в Энрико. Отец очень любил слушать знаменитого итальянского певца Энрика Каруза и с ласки маленького Хаима называл Энрико. Энрико рано остался без отца. Его мать София была из семьи Алберта Фархия и Калины Тайтацак.

Он закончил композицию в группе профессора Миленка Живковича на Музыкальной академии в Белграде в 1954 году, а позже (в 1961/62 году) провел год в учебной поездке в Риме. Некоторое время работал преподавателем в музыкальных школах в Белграде, а в 1957 году избран ассистентом композиции на Музыкальной академии. После внезапной смерти профессора Миленка Живковича (в 1964 году), он принимает его группу студентов композиции и становится доцентом (в 1965 году), а затем эктраординарным (в 1965 году) и ординарным профессором (в 1976 году). Там он работал до выхода на пенсию в 1989 году.

Композитор Энрико Иосиф умер в Белграде, 13 марта 2003 года. Он похоронен на еврейском кладбище Еврейской общины Белграда.