El compositor Enriko Josif nació en Belgrado el 1 de mayo de 1924 en una familia judía sefardí. Su nombre de nacimiento era Hajim, dado por su padre Moša Josif, comerciante de profesión, y luego fue cambiado a Enriko. A su padre le gustaba mucho escuchar al famoso cantante italiano Enrico Caruso por lo que de cariño le llamaba Enrico al pequeño Hajim. Enrico perdió a su padre muy temprano. La madre Sofija era de una familia de Alberto Farhi y Kalina Tajtacak.

Terminó los estudios de composición en la clase del profesor Milenko Zivkovic por la Academia de Música de Belgrado en 1954, y después (1961/1962) cursó un año de estudios en Roma. Poco tiempo trabajó como profesor en las escuelas de música en Belgrado, y en 1957 fue elegido profesor adjunto de composición en la Academia de Música. Después de la repentina muerte del profesor Milenko Živković (1964) asumió su clase de composición y fue nombrado profesor asociado (1965), luego profesor titular (1970) y catedrático (1976). En este cargo permaneció hasta su jubilación en 1989.

El compositor Enriko Josif murió en Belgrado el 13 de marzo de 2003. Fue enterrado en el cementerio judío de la Comunidad Judía de Belgrado.