Kompozitor Enriko Josif rođen je u Beogradu 1. maja 1924. godine u jevrejskoj sefardskoj porodici. Njegov otac, Moša Josif, po zanimanju trgovac, mu je na rođenju dao ime Hajim koje je posle promenjeno u Enriko. Otac je mnogo voleo da sluša čuvenog italijanskog pevača Enrika Karuza i od milošte malog Hajima zvao Enriko. Enriko je rano ostao bez oca. Majka Sofija bila je iz porodice Alberta Farhija i Kaline Tajtacak.

Studije kompozicije završio je u klasi prof. Milenka Živkovića na beogradskoj Muzičkoj akademiji 1954. godine, a kasnije (1961/62) je bio na jednogodišnjem studijskom boravku u Rimu. Kraće vreme je radio kao nastavnik u muzičkim školama u Beogradu, a 1957. je izabran za asistenta kompozicije na Muzičkoj akademiji. Posle iznenadne smrti prof. Milenka Živkovića (1964) preuzima njegovu klasu kompozicije i biva izabran za docenta (1965), potom za vanrednog (1970) i redovnog profesora (1976). Na tom mestu je ostao do odlaska u penziju 1989. godine.

Kompozitor Enriko Josif umro je u Beogradu 13. marta 2003. godine. Sahranjen je na jevrejskom groblju Jevrejske opštine Beograd.